Forschungsgruppe ORCOS
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Kontrolltheorie und Differentialspiele in Österreich

Ökonomische Anwendungen, Aufbruch und Entwicklung

Gustav Feichtinger, TU Wien

Unter Mitarbeit von A. Fürnkranz-Prskawetz, D. Grass, R.F. Hartl, F.X. Hof, P.M. Kort, R. Neck, A. Novak, A. Seidl, G. Sorger, A. Stepan, V.M. Veliov, F. Wirl, St. Wrzaczek

1.    Ursprung ökonomisch motivierter Kontrollprobleme

Im Folgenden wird skizziert, wie es hierzulande zu den Anwendungen von Kontrolltheorie und dynamischen Spielen im Operations Research und in den Wirtschaftswissenschaften gekommen ist.

Intertemporale Entscheidungsprozesse spielen in der ökonomischen Theorie sowie im OR eine zentrale Rolle. Die Vernachlässigung des dynamischen Elements bei wirtschaftlichen Planungsaufgaben ist – nach einem Ausspruch Joseph Schumpeters – vergleichbar mit einer Aufführung   von   Shakespeares   Hamlet   ohne   den   Prinzen   von Dänemark.

Als Startschuss für die einschlägigen Arbeiten kann die englische Übersetzung des Buches von Pontryagin et al. (1962) festgemacht werden. Eine lesenswerte Monographie über die Entwicklung optimaler Steuerungen liefert Plail (1998).

Die Optimalitätsbedingungen des Pontrjaginschen Maximierungsprinzips erlauben eine qualitative Charakterisierung der Eigenschaften optimaler Politiken dynamischer Entscheidungsprozesse. Ursprünglich für Anwendungen in der Luft- und Raumfahrt konzipiert, wurde das Maximimprinzip ab der Mitte der Sechzigerjahre auch von Wirtschaftswissenschaftlern für ökonomische Analysen verwendet. Dies war umso wichtiger, als für eine Reihe sozio-ökonomischer Fragestellungen die Datenknappheit ein echtes Hindernis für eine erfolgreiche quantitative Lösung darstellt. Zentral ist dabei die Einführung adjungierter Variabler als Schattenpreise sowie der Hamiltonfunktion als erweiterter Nutzenfunktion.

Während die Dynamische Programmierung (Bellmansches Optimalitätsprinzip) bereits seit den frühen Sechzigerjahren zum Standardstoff von OR-Kursen zählte, begann man sich im deutschen Sprachraum etwa zehn, fünfzehn Jahre später mit ökonomischen Anwendungen des Maximumprinzips zu beschäftigen. Als frühes Beispiel sei ein auf von Weizsäcker (1967) zurückgehendes einfaches Modell zur Ausbildung und Berufsausübung erwähnt (siehe dazu Feichtinger und Hartl, 1986, § 3.2).

Der Autor des vorliegenden Beitrages ist vor nunmehr fünf Jahrzehnten erstmals mit der Thematik in Berührung gekommen. In einem Seminar, das von Assistenten des Instituts für Gesellschafts- und Wirtschaftswissenschaften der Universität Bonn ins Leben gerufen worden war, wurden Teile des erwähnten Kultbuches von Pontryagin et al. (1962) durchbesprochen.

2.    Beginn an der TU Wien


In Wien war es M. Luptacik, der am Institut für Unternehmensforschung der TU Wien im Jahr 1978 die Bücher von Arrow und Kurz (1970) sowie Intriligator (1971) aufs Tapet brachte. In beiden Werken werden grundlegende Probleme der Wirtschaftsdynamik mit dem Instrumentarium der Kotrolltheorie analysiert.
Gemeinsam mit Luptacik und dem damaligen Studenten der Technischen Mathematik R.F. Hartl wurde dabei dem Autor die Vorteile des Maximumprinzips klar. Phasenporträtanalysen einfacher (nichtlinearer) Modell lieferten Einsichten in optimale Produktions-/Lagerhaltungspolitiken, in Preis und Werbegestaltung, Instand-haltungsmaßnahmen und dgl.
Einen Einblick in den Diskussionsstand Mitte der Achtzigerjahre liefert die ‚rote Bibel‘ von Feichtinger und Hartl (1986).


3.    Dynamics of the Firm


Ein Hauptanwendungsgebiet der Kontrolltheorie ab den Siebzigerjahren waren (und sind) die verschiedenen Funktionsbereiche der Betriebswirtschaftslehre. Produktion und Lagerhaltung, Instandhaltung und Ersatz, Marketing, Investitionen und Finanzierung und Kapitalakkumulation bildeten den Schwerpunkt der Untersuchungen. Die Beschäftigung mit der Firmendynamik wurde durch zwei Betriebswirte und einen Mathematiker angeregt, nämlich durch J. Lesourne, H. Albach und A. Bensoussan, vgl. auch Bensoussan et al (1974). Seminare in Brüssel sowie am Institut für Höhere Studien in Wien illustrierten die Bedeutung des Maximumprinzips zur Ermittlung optimaler Unternehmenspolitiken, vgl. auch Ludwig (1978). Als nachhaltig erwiesen sich dabei auch die Kontakte mit der `Holländischen Schule´ (P. Verheyen, P. van Loon, P. M. Kort u.a.). Letzterer ist bis heute ein kompetenter Kooperationspartner geblieben. In Erinnerung geblieben ist dabei vor allem das `Verknüpfen von Regimen´ in optimalen Zustandspfaden und ein geschicktes Jonglieren mit Optimalitätsbedingungen bei reinen (und gemischten) Nebenbedingungen (und in Ungleichungsforum).

4.    Kooperationen


Die Erfolge, welche die Wiener TU-Gruppe bei der Anwendung der Kontrolltheorie im OR und in der Ökonomie erzielten wären nicht denkbar gewesen ohne die befruchtende Zusammenarbeit mit internationalen Schwergewichten. Ohne in dieser Hinsicht Vollständigkeit anzustreben, seien folgende Kollegen angeführt:

  • G. Leitmann, UC Berkeley, der die Gruppe über wesentliche Aspekte der Kontrolltheorie und Differentialspiele beraten hat;

  • S. P. Sethi, von dessen einschlägigen Kursen und Vorträgen wir enorm profitiert haben.

  •  S. Jorgensen, dem unbestrittenem `Master of Differential Games in Economics´,

  • A. Luhmer, der uns den betriebswirtschaftlichen Hintergrund nähergebracht hat.

  • R. Weiss, der gemeinsam mit A. Steindl an der TU einen Extra-Kurs über Randwerprobleme und dynamische Systeme gehalten hat.



5.    Viennese Workshops on Optimal Control


Bereits seit den frühen Achtzigerjahren wurden an der TU Wien in ungefähren Dreijahresabständen Arbeitstagungen über Kontrolltheorie, dynamische Spiele und (später auch) nichtlineare    dynamische    Systeme    veranstaltet.    Viele    bahnbrechende    Arbeiten von österreichischen Kollegen und internationalen Spitzenforschern sind in den von North-Holland/Elsevier herausgegebenen Tagungsbänden erschienen. Stellvertretend sei der Band Feichtinger (1985) erwähnt, in dem etwa E. Dockners famose Stabilitätsanalyse von Kontrollmodellen mit zwei Zustandsvariablen aufscheint.
Auch andere vom Institut für OR der TU Wien veranstaltete Tagungen enthielten jeweils gut besuchte Sektionen über Kontrolltheorie und Differentialspiele. Als Beispiel hierfür sei die mit mehr als 1200 Teilnehmern größte Tagung der Deutschen, Schweizer und Österreichischen OR- Gesellschaften im Jahr 1990 erwähnt.
Ab den frühen 2000ern gesellten sich die Vintage Workshops hinzu, die in der Folge gemeinsam mit dem Vienna Institute for Demography organisiert wurden.

6.    Komplexe Lösungen optimaler Kontrollmodelle


Bis in die Siebzigerjahre beschränkte sich die Analyse auf Kontrollmodelle, deren Lösungen langfristig einem eindeutigen Sattelpunkt zustreben. Mehrere der dabei verwendeten Stabilitätskriterien wurden von Sorger (1989) dahingehend verallgemeinert, dass sie auch auf Modelle mit einer Hamiltonfunktion, die nicht konkav ist, angewendet werden können. Erst ab Mitte der Siebzigerjahre wurden komplexere Lösungen dynamischer Modelle diskutiert. Gemäß dem Resultat von Hartl (1987) kann komplexes Verhalten bei stetigen autonomen Kontrollproblemen nur bei mindestens zwei Zuständen auftreten.

 

6.1 Grenzzyklen


Bei Ryder und Heal (1973) tritt erstmals ein Grenzzyklus als optimale Lösung eines Kontrollmodells auf. Dabei handelt es sich um ein Kapitalakkumulationsmodell, in dem der Konsumnutzen zusätzlich von der Konsumgewohnheit (habit) abhängt. Unter Ausnutzung von Resultaten über die Hopf-Bifurkation ist es der TU-Gruppe gelungen, persistente optimale Oszillationen in einer Reihe ökonomischer Modelle nachzuweisen, beispielsweise in der Produktions-/Lagerhaltungstheorie (Intensitätssplitting, Feichtinger und Sorger, 1986), im Marketing (ADPULS-Modell, Feichtinger et al., 1988) oder in den rationalen Suchtmodellen (Dockner und Feichtinger, 1993). Während in den ersten beiden Arbeiten Konvexitäten für Limeszyklen verantwortlich waren, gehen das rationale Suchtmodell und auch die Arbeiten von Wirl (1992) von strikt konkaven Modellen aus. Das Suchtmodell nützt endogene Präferenzen während Wirl Wachstum als Motor für zyklisches Verhalten benützt. Aber auch im Vampirismus wurde zyklisches Verhalten als optimal identifiziert (Hartl et al. 1992).

Nahezu alle Mitglieder der TU-Forschungsgruppen haben wertvolle Einsichten in die Entstehung von Limeszyklen und in deren ökonomischer Interpretation erzielt: R. F. Hartl, J. Haunschmied, P.M. Kort, A. Novak, G. Sorger und A. Steindl.


6.2 Multiple Gleichgewichte


Im klassischen Wachstumsmodell von Ramsey (1928) existiert ein eindeutig bestimmtes, langfristig optimales Gleichgewicht (`golden rule of growth´). Erweitert man die konkave Produktionsfunktion um ein konvexes Anfangsstück, dann kann es zu zwei stationären Zuständen kommen; je nachdem von welchem Kapitalstock man startet, wird einer von ihnen auf optimale Weise angesteuert. Die beiden Anziehungsbereiche werden durch einen sogenannten Skiba- Punkt getrennt (Skiba, 1978). Bei linearen Kontrollproblemen, bei denen singuläre Lösungen die Rolle der stationären Zustände spielen, hat Sethi (1977) dieses Phänomen schon zuvor entdeckt.

 
Im Laufe der Jahre hat sich herausgestellt, dass derartige Mehrfach-Gleichgewichte und die damit verbundene Abhängigkeit der optimalen Lösung vom Anfangszustand (‚history- dependence´) keine pathologische Ausnahmeerscheinung ökonomischer Modelle darstellen. Die Erforschung der Mechanismen, die zu einer solchen Pfad-Abhängigkeit führen, zählte in den vergangenen drei Jahrzehnten zu einem der wesentlichen Forschungsgebiete von ORCOS (Forschungsgruppe "Operations Research and Control Systems", TU Wien). Stellvertretend sei ein wesentliches Resultat von G. Tragler erwähnt, wo die Anzahl der Polizisten, u, auf die Gesetzesbrecher, x, aufgeteilt werden, also der Quotient u/x auftritt. Je nachdem ob x unterhalb einer Skiba-Schwelle liegt oder darüber, zahlt es sich aus, Verbrechen auszurotten oder eine Balance zwischen dem angerichteten Schaden und den Kontrollkosten anzustreben (vergleiche § 8).
Viele dieser Arbeiten verwenden konvex-konkave Modelle um einen instabilen stationären Zustand als Ursache für geschichtsabhängiges Verhalten zu generieren. Dabei wird meist übersehen, dass auch strikt  konkave  Modelle  Geschichtsabhängigkeit  zulassen  (vergleiche Liviatan und Samuelson, 1969 für ein Beispiel, sowie Wirl und Feichtinger, 2005, für den allgemeinen Fall).
Von den Kollegen, die wertvolle Beiträge über Skibapunkte (auch in höher-dimensionalen Zustandsräumen) erzielt haben, seien erwähnt: J. P. Caulkins, H. Dawid, D. Grass, R. F. Hartl, J. Haunschmied, P. M. Kort, A. Novak. A. Seidl und F. Wirl.

6.3 Chaos


Nach Boldrin und Montrucchio (1986) existiert zu jedem hinreichend glatten nichtlinearem System ein konvexes dynamisches Optimierungsmodell mit diesem System als optimaler Politikfunktion, insbesondere also auch zu einem solchen, das chaotische Pfade erzeugt. Dieses bemerkenswerte Resultat für diskrete Zeitskalen, bei dem sozusagen ein inverses Problem gelöst wird, gilt auch für stetigen Zeitrahmen (siehe Sorger, 1989). Trotzdem sind uns bisher ökonomisch relevante intertemporale Optimierungsmodelle mit chaotischen Lösungen nur in diskreter Zeit geläufig.

 

7.    Theoretische Untersuchungen und numerische Analysen


Nach den Pionierarbeiten von Veliov (1997) und Dontchev et al. (2000) über Approximations- methoden höherer Ordnung für gewöhnliche Differentialgleichungen hat die TU-Gruppe zur Stabilitäts-Untersuchung der Lösungen optimaler Kontrollprobleme beigetragen. Von den vielen Arbeiten, in denen auch auf das enorme Potential für numerische Implementation eingegangen wird, seien hier nur Veliov (2005), Quincampoix und Veliov (2013), Dontchev et al. (2013; Newton- and path- following Methoden) sowie Pietrus et. al. (2017; Approximationsmethoden für non-coercive Probleme) erwähnt.

Ein Ansatz zur numerischen Berechnung unter Verwendung des Maximumprinzips ist die Formulierung als (Mehrpunkt) Randwertproblem. Eine der Herausforderungen dieser Methode ist die Notwendigkeit a priori Informationen über die Lösungsstruktur, d.h. beispielsweise Anzahl und Zeitpunkt der Eintritts- und Austrittspunkte von Beschränkungen, bzw. Unstetigkeiten der Kontrollen, zu besitzen. Bei Nichteindeutigkeit der Lösung besteht auch die Notwendigkeit so weit als möglich sicher zu stellen, dass keine Lösung übersehen wird. Ein möglicher Ausweg aus diesem Dilemma wurde in der von D. Grass und A. Seidl entwickelten Matlab-Toolbox OCMat implementiert. Für die Beschreibung der grundlegenden Methode siehe Grass (2012) sowie Grass et al. (2008). Dabei wird das Randwertproblem über einen Fortsetzungsalgorithmus gelöst, wobei die Anfangslösung, abhängig von der Problemstellung, durch geeignete Anpassung der Anfangsdaten gewonnen werden. Für unendliche Zeithorizont Probleme sind das meist die Gleichgewichts oder periodischen Lösungen, wohingegen bei endliche Zeithorizont Problemen die Zeit selbst als erster Fortsetzungsparameter gewählt wird. Diese Methode wurde erfolgreich auf Impulskontrollmodelle, raumverteilte Modelle (Grass und Uecker, 2017), sowie zeitdiskrete Modelle angewandt.


8. Ökonomie ‚abweichenden‘ Verhaltens


Eine weitere Kooperation mit einem US-Forscher erwies sich als äußerst fruchtbar. Seit den Neunzigerjahren arbeitet ORCOS mit J. P. Caulkins (CMU Pittsburgh) zusammen, hauptsächlich im Bereich der Drogenpolitik. Gemeinsam mit G. Tragler, D. Behrens und einer Reihe anderer TU- Wirtschaftsmathematiker entstanden Kontrollmodelle, die in internationalen Spitzenzeitschriften Aufnahme gefunden haben (Operations Research, Management Science).
In gewissem Sinn können auch die Modelle der Gesundheitsökonomie dazugezählt werden, die von S. Wrzaczek in Kooperationen mit der Forschungsgruppe ECO und dem VID behandelt werden unter Leitung von A. Fürnkranz-Prskawetz und M. Kuhn (siehe § 10).

9.    Planung des ‚Ungewöhnlichen‘


Sethi (1979) hat das optimale Vorgehen eines Diebes ermittelt, wenn er zwischen den Nutzen aus seiner Beute und dem Risiko gefasst zu werden abzuwägen hat (vgl. auch die Erweiterung auf das Dieb-Polizei-Spiel bei Feichtinger, 1983). ‚Planning of unusual‘ reicht von effizienten Entlohnungsschemata von Ärzten, optimalen Alkoholkonsum auf einer Party, außerehelicher Affären bis hin zum Vampirismus. Bei Blutsaugern wurde beispielsweise zyklisches Verhalten als optimal identifiziert (Hartl et al. 1992). Einen frühen Einblick gibt der Aufsatz von Feichtinger und Mehlmann (1986).

10.     Kontrolle mit verteilten Parametern


Alter ist die zentrale Variable der Demographie. Populationsdynamische Modelle werden schon früh am (damaligen) Institut für Unternehmensforschung der TU Wien analysiert. J.Muzicant (1980) hat ein Maximumprinzip zur Kontrolle altersstrukturierter bioökonomischer Modelle an angewendet. Eine andere frühe bahnbrechende Arbeit stammt von Haurie et al. (1984).

In der ersten Dekade dieses Jahrhunderts hat sich die Theorie der Kontrolle alters-strukturierter und heterogener Systeme zu einem der Hauptarbeitsgebiete der TU-Gruppe entwickelt; siehe Feichtinger et al. (2003), Veliov (2008). Neben der Entwicklung numerischer Methoden samt zugehöriger Software haben wir uns mit vielfältigen Anwendungen beschäftigt, nämlich Vintage-Modellen der Firmendynamik (Feichtinger et al., 2006), Umweltökonomie (Feichtinger et al., 2005), Humankapitalakkumulation (Fuernkranz-Prsawtz und Veliov, 2007); Epidemiologie (Veliov und Widder, 2016) und Demographie (Feichtinger und Veliov, 2007).
In der Gesundheitsökonomie ermöglichte dieser Ansatz insbesondere den Vergleich einer individuellen optimalen Lösung (dezentrale Lösung) mit einer sozial optimalen Lösung (zentralen Lösung) (Kuhn et al., 2011).


11.    Differentialspiele


Schon die russische Schule um Pontrjagin hatte sich bald nach dem Durchbruch beim Beweis des Maximumprinzips der Analyse von Differentialspielen zugewendet. Hierbei interagieren mindestens zwei Entscheidungsträger strategisch im Zeitablauf. Die klassische frühe Referenz ist Isaacs (1965). Am Institut für Operations Research hat sich schon in den Achtzigerjahren A. Mehlmann mit derartigen Fragestellungen beschäftigt; siehe Mehlmann (1988). Während die Russen hauptsächlich Nullsummenspiel  mit  vorwiegend  militärischer  Bedeutung  analysiert haben (sogen. pursuer – evader games), spielen bei wirtschaftlichen Problemen hauptsächlich Nicht-Nullsummenspiele eine Schlüsselrolle. Wesentliche Aufsätze zu der an der TU Wien betriebenen Forschung gingen von S. Jorgensen (Universität Odense) aus, wie z. B. Die Charakterisierung zustandsseparabler Spiele in Dockner et al. (1985). Zu erwähnen sind auch noch mehrere Beiträge von E. Dockner und G. Sorger zur nicht-kooperativen Ausbeutung erneuerbarer Ressourcen; z. B Dockner und Sorger (1996) und Sorger (1998).
Für eine erste Übersicht über Anwendungen aus dynamischen Spielen im Management vergleiche man Feichtinger und Jorgensen (1983). Eine wesentlich umfassendere Darstellung findet man in der ‚blauen Bibel‘ Dockner et al. (2000).
Dynamische Spiele, die in Kontrollproblemen mit deterministischen Ungewissheiten auftreten, wurden von Quincampoix und Veliov (2005) behandelt.


12.    Verwandte Entwicklungen in Wien, Graz und Klagenfurt


Kontrolltheoretische Methoden in der ökonomischen Analyse sind an mehreren österreichischen Forschungsinstituten unabhängig voneinander zum Einsatz gelangt. In den Siebzigerjahren des vergangenen Jahrhunderts war die Zeit für diese Entwicklung reif.

Neben den in §3 erwähnten mikroökonomischen Aspekten zählen gesamtwirtschaftlich Fragestellungen zu weiteren wichtigen Anwendungsfeldern der Kontrolltheorie. Seit mehr als drei Jahrzehnten beschäftigen sich R. Neck (seit 1997 Uni Klagenfurt) und seine Mitarbeiter/innen mit kontrolltheoretischen Anwendungen makroökonomischer Wirtschaftspolitik. Exemplarisch geht es dabei um folgende Fragen: Welche Budgetpolitik soll ein Land wie Österreich verfolgen, um Beschäftigung und Preisstabilität zu sichern, ohne zu große Staatsschulden anzuhäufen? Wäre eine bessere Geldpolitik als die aktuelle Niedrigzinspolitik der Europäischen Zentralbank möglich, und welche Auswirkungen hätte diese auf die Länder der Eurozone? An aktuellen Arbeiten zu den wirtschaftspolitischen Konflikten in der Eurozone seien dynamische Spiele erwähnt, bei denen die Europäische Zentralbank und die Regierungen von Zentrums- und Peripherieländern gegeneinander (nichtkooperativ) und miteinander (kooperativ) ihre Geld- bzw. Fiskalpolitik bestimmen. Die wichtigste Verbindung dieser Arbeitsgruppe zur Gruppe an der TU Wien bildete der 2017 viel zu früh verstorbene E. Dockner, der besonders im Bereich der dynamischen Spiele viele Anregungen beisteuerte und gemeinsame Arbeiten verfasste.

F. Wirl kam als Autodidakt (basierend auf Ingenieurbüchern, u.a. Bryson und Ho, 1975), angeregt durch Probleme des optimalen Ressourcenabbau (wiederum motiviert durch seine Tätigkeit im OPEC Sekretariat) in das Seminar von G. Feichtinger, in dem intertemporale Optimierung im Zentrum stand. Dort traf er auf R. F. Hartl und E. Dockner. Die kritischen Diskussionen waren für ihn sehr wertvoll für seine weitere Beschäftigung mit diesen Themen. Eine Reihe interessanter Arbeiten war das Resultat (nach dem Handelsblatt-Ranking ist Wirl der produktivste Betriebswirt im deutschen Sprachraum).

In Graz hat sich als einer der ersten in Österreich A. Stepan mit optimalen Steuerungen beschäftigt. 1971 wies ihn P. Swoboda auf Wagners Wälzer ‚Operations Research‘ (Wagner, 1975) hin und regte an, sich in die Dynamische Programmierung zu vertiefen. Swoboda begutachtete damals ein Manuskript des Volkswirts M. Streit, welcher in einem Kapitel auf Optimal Control Theory einging      und      auch      die      Hamilton      Funktion      verwendete).      Swoboda      meinte,
‚Betriebswirtschaftlichen Anwendungen des Pontrjaginschen Maximumprinzips‘ seien ein interessantes Dissertations-Thema (Stepan, 1977). So geschah es, und schon bei seinem allerersten Besuch einer DGOR Konferenz saß er im Vortrag von S. Stöppler. Dieser hat als einer der ersten im deutschen Sprachraum das Maximumprinzip in den Wirtschaftswissenschaften angewendet (Stöppler, 1975).
Da sich vorliegenden Plauderei auf ökonomische Anwendungen von Optimalsteuerungen und Differentialspielen beschränkt, wird auf andere wichtige Beiträge nicht eingegangen. An der TU Wien wurden und werden solche von M. Deistler, I. Troch, St. Jakubek, A. Kugi und A. Weinmann geliefert; an der TU Graz sind F. Kappel und K. Kunisch u. a. zu erwähnen.


13. Schluss und Ausblick


Neugierde und Begeisterung zählen zu den notwendigen Voraussetzungen zum Aufschwung einer Disziplin. Gerne erinnert man sich an den `Zauber der ersten Stunde´ zurück. Die schrittweise Erforschung eines neuen Gebiets gleicht dem Vordringen einer Wandergruppe in neues Terrain.
Vieles wurde auf dem Weg dahin versäumt. Unsere Gruppe hatte beispielsweise die Chance in die Modellierung der HIV-Epidemie einzudringen. Der frühe Vogel fängt den Wurm, aber wer zu spät kommt, den bestraft die Geschichte.

Manche interessante Resultate sind erzielt worden. Von oben erwähnten mannigfachen Anwendungen der Methodik sei insbesondere auf ökonomische Modelle `abweichenden Verhaltens´ hingewiesen. Die effiziente Kontrolle des illegalen Drogenkonsums, der Korruption und des Terrors wurden von der TU-Gruppe erfolgreich analysiert.

Unter den zukünftigen Arbeitsgebieten der TU-Gruppe erwähnen wir noch die theoretische und numerische   Analyse   Prädiktiver   Kontrolle   schneller   Systeme (mit   Anwendungen   in   der Mikroelektronik), stochastische dynamische Optimierungsprobleme in der Nutzbarmachung elektrischer Energie sowie räumlich-verteilter Kontrollprobleme in der Ressourcenökonomie.


Eine Bestandsaufnahme der Forschungen zu Kontrolltheorie und zu Differentialspielen findet sich im Buch von Grass et al. (2008).
`Optimal control´ und `differential games´ sind ein blühendes Gebiet mit vielen interessanten Anwendungen. In den letzten Jahren erfolgte in der Forschungsgruppe ORCOS eine Schwerpunktverlagerung. Neben vertieften mathematischen Untersuchungen zu den Optimalitätsbedingungen des Maximumprinzips sei auf eine Behandlung stochastischer Ansätze in der Kontrolltheorieweise Anwendungen hingewiesen.

14. Literaturverzeichnis

 

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